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Abstract: 本文介绍期望的条件版本，也就是条件期望 Keywords: Expectation，Prediction，Law of Total Probability
条件期望
说到条件，我们前面反复说，所有概率都是条件的，随机变量也是，那么这几天我们学到的各种数字特征就应该也有条件版本，而我们学的这几个数组特征都是建立在期望的基础上，所以我们只要研究了条件期望，其他各特征的条件版本就是在此基础上的函数版本。 本文还有一个重要的部分就是prediction——预测，机器学习的除了发现事物本身内在的原理，另一个目的就是预测，而我们要预测的这个变量可能我们并不知其分布性质，而是知道另一个跟他有关系的随机变量的分布，那么我们就要用到全概率法则的条件版本了，具体我们来详细说清楚
条件期望的定义和基本性质 Definition and Basic Properties
在我们举个例子之前我们回忆一下，我们整章都在说的期望，一个随机变量的期望取决于分布，而且我们提到过，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，那么我们可以进一步说每个分布对应唯一的期望，但是我们知道分布是有条件版本的，所以对应的期望就是条件分布的期望，而期望这个数值在预测过程中满足最小M.S.E. 的要求，所以某些时候用条件期望来预测某个值的出现是合理的。
举个例子： 首先统计了某一个片区所有人家的家庭成员和手机持有数量，然后得到了下面这个表：
那么当我们随机选取这个调查中的某一家人，其中有n个家庭成员，那么他们的手机持有量是多少呢？
这个问题就是一个典型的预测问题。
Definition Conditional Expectation/Mean.Let
X
X
X and
Y
Y
Y be random variables such that the mean of
Y
Y
Y exists and is finite.The conditional expectation(or conditional mean) of
Y
Y
Y given
X
=
x
X=x
X=x is denoted by
E
(
Y
∣
x
)
E(Y|x)
E(Y∣x) and is defined to be the expectation of the conditional distribution of
Y
Y
Y given
X
=
x
X=x
X=x .
这个定义就是条件期望或者条件均值的定义了，如果
Y
Y
Y 存在并且有限，条件
X
=
x
X=x
X=x 条件期望
E
(
Y
∣
x
)
E(Y|x)
E(Y∣x)
举个例子 如果Y是一个连续随机变量，给定条件
X
=
x
X=x
X=x 其条件p.d.f.
g
2
(
y
∣
x
)
g_2(y|x)
g2(y∣x) 那么他的条件期望：
E
(
Y
∣
x
)
=
∫
−
∞
∞
y
g
2
(
y
∣
x
)
d
y
............(1)
E(Y|x)=\int^{\infty}_{-\infty}yg_2(y|x)dy\text{............(1)}
E(Y∣x)=∫−∞∞yg2(y∣x)dy............(1) 同理如果Y是一个离散随机变量，给定条件
X
=
x
X=x
X=x 其条件p.d.f. 那么
g
2
(
y
∣
x
)
=
∑
All
y
y
g
2
(
y
∣
x
)
..................(2)
g_2(y|x)=\sum_{\text{ All }y}yg_2(y|x)\text{..................(2)}
g2(y∣x)= All y∑yg2(y∣x)..................(2)
当然上面这个定义对条件有一定要求，因为条件 X也是随机变量，所以其取值也有范围，比如有些情况下
f
1
(
x
)
=
0
f_1(x)=0
f1(x)=0 这种情况就很尴尬了，不过也没关系，因为条件发生的概率都是0了，那么在此条件下再发生别的更是不可能，所以这种情况变得无关紧要；另一种尴尬就是
f
1
(
x
)
≠
0
f_1(x)\neq 0
f1(x)=0 也就是条件是某个正常的值了，但是这时候Y可能不存在期望，或者期望是无穷的情况，这时条件期望未定义；
Definition Conditional Means as Random Variables.Let
h
(
x
)
h(x)
h(x) stand for the function of
x
x
x that is denoted
E
(
Y
∣
x
)
E(Y|x)
E(Y∣x) in either (1) or (2).Define the symble
E
(
Y
∣
X
)
E(Y|X)
E(Y∣X) to mean
h
(
X
)
h(X)
h(X) and call it the conditional mean of
Y
Y
Y given
X
X
X
想一下，我们前面给出了条件的具体取值，比如当给定
X
=
x
0
X=x_0
X=x0 的条件下，
Y
Y
Y 的期望是什么。如果我们不给定条件特定的值，那么条件变成一个变量，从微积分的角度来看求条件期望的公式如下
E
(
Y
∣
X
=
x
)
=
∫
−
∞
∞
Y
f
1
(
Y
∣
X
=
x
)
d
y
E(Y|X=x)=\int^{\infty}_{-\infty}Yf_1(Y|X=x)dy
E(Y∣X=x)=∫−∞∞Yf1(Y∣X=x)dy 如果
X
X
X 也是变量那么这个两个变量的单积分表达式的结果就是个
X
X
X 的函数.
一个🌰 ： 临床试验，一定数量的患者接受治疗，只有治愈和未治愈两种结果，假设
P
P
P 是大量试验的一个结果统计的成功比例，设
X
i
=
0
X_i=0
Xi=0 为失败（未治愈）
X
i
=
1
X_i=1
Xi=1 为治愈，并假设
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1,X_2,\dots,X_n
X1,X2,…,Xn 之间在条件
P
=
p
P=p
P=p 之下独立，并有
P
r
(
X
i
=
1
∣
P
=
p
)
=
p
Pr(X_i=1|P=p)=p
Pr(Xi=1∣P=p)=p ,我们现在来计算X的条件P下的期望，因为
X
X
X 是参数为
p
，
n
p，n
p，n 的二项分布，所以
E
(
X
∣
p
)
=
n
p
E(X|p)=np
E(X∣p)=np 以及
E
(
X
∣
P
)
=
n
P
E(X|P)=nP
E(X∣P)=nP 后面我们会计算当我们已知X时如何求
P
P
P ，这就是预测问题了
注意，当给定条件
X
X
X 时的条件期望
E
(
Y
∣
X
)
E(Y|X)
E(Y∣X) 是一个随机变量，有自己的分布;给定条件
X
=
x
X=x
X=x 时，条件概率
h
(
x
)
=
E
(
Y
∣
x
)
h(x)=E(Y|x)
h(x)=E(Y∣x) 是一函数，这个函数与其他普通函数一样使用； 他们的联系是
X
X
X 有一定个概率等于
x
x
x 这时候，
E
(
Y
∣
X
=
x
)
=
h
(
x
)
E(Y|X=x)=h(x)
E(Y∣X=x)=h(x) 按照函数
h
h
h 来完成计算。
接着我们提出条件版的全概率公式：
Theorem Law of Total Probability for Expectation.Let
X
X
X and Y be random variables such that Y has finite mean.Then
E
[
E
(
Y
∣
X
)
]
=
E
(
Y
)
E[E(Y|X)]=E(Y)
E[E(Y∣X)]=E(Y)
证明: 假设X和Y是连续的随机变量并有一个连续的联合分布
E
[
E
(
Y
∣
X
)
]
=
∫
−
∞
∞
E
(
Y
∣
x
)
f
1
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
y
g
2
(
y
∣
x
)
f
1
(
x
)
d
y
d
x
\begin{aligned} E[E(Y|X)]&=\int^{\infty}_{-\infty}E(Y|x)f_1(x)dx\\ &=\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}yg_2(y|x)f_1(x)dydx\\ \end{aligned}
E[E(Y∣X)]=∫−∞∞E(Y∣x)f1(x)dx=∫−∞∞∫−∞∞yg2(y∣x)f1(x)dydx 又因为
g
2
(
y
∣
x
)
=
f
(
x
,
y
)
/
f
1
(
x
)
g_2(y|x)=f(x,y)/f_1(x)
g2(y∣x)=f(x,y)/f1(x) 那么就有：
E
[
E
(
Y
∣
X
)
]
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
y
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
E
(
Y
)
E[E(Y|X)]=\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}yf(x,y)dydx=E(Y)
E[E(Y∣X)]=∫−∞∞∫−∞∞yf(x,y)dydx=E(Y) 证毕
证明第一步用到了函数的期望，谁是函数？我上面说啦，
h
(
x
)
=
E
(
Y
∣
x
)
h(x)=E(Y|x)
h(x)=E(Y∣x) 可以当做函数使用，然后又用到了条件概率分布和边缘分布的关系，最后得到预料之内的结论。
接下来这个定理反应的是当给定条件
X
=
x
X=x
X=x 下的概率，和把
X
X
X 当做已知常数
x
x
x 是一致的.
Let
X
X
X and
Y
Y
Y be random variables,and let
Z
=
r
(
X
,
Y
)
Z=r(X,Y)
Z=r(X,Y) for some function r.The conditional distribution of
Z
Z
Z given
X
=
x
X=x
X=x is the same as the conditional distribution of
r
(
x
,
Y
)
r(x,Y)
r(x,Y) given
X
=
x
X=x
X=x
证明： 当X和Y有一个连续的联合分布：
E
(
Z
∣
x
)
=
E
(
r
(
x
,
Y
)
∣
x
)
=
∫
−
∞
∞
r
(
x
,
y
)
g
2
(
y
∣
x
)
d
y
E(Z|x)=E(r(x,Y)|x)=\int^{\infty}_{-\infty}r(x,y)g_2(y|x)dy
E(Z∣x)=E(r(x,Y)∣x)=∫−∞∞r(x,y)g2(y∣x)dy 根据前面关于期望的全概率法则，我们有：
E
{
E
[
r
(
X
,
Y
)
∣
X
]
}
=
E
[
r
(
X
,
Y
)
]
E\{E[r(X,Y)|X]\}=E[r(X,Y)]
E{E[r(X,Y)∣X]}=E[r(X,Y)] 证毕
上面这个定理是说当某个随机变量
Z
Z
Z 是另外两个随机变量
X
,
Y
X,Y
X,Y 的某个函数
r
r
r 结果，那么当其中一个随机变量
X
X
X 或者
Y
Y
Y 被给定为条件的时候
E
(
Z
∣
X
=
x
)
=
E
[
r
(
x
,
Y
)
∣
X
=
x
]
E(Z|X=x)=E[r(x,Y)|X=x]
E(Z∣X=x)=E[r(x,Y)∣X=x]
作为期望的第一步扩展，我们这里给出条件方差的定义，当然也有条件距，条件偏度，条件m.g.f，多变量的条件协方差等，篇幅时间都有限，不可能都一一练习，大家要多看例子，不然后面数理统计容易懵逼
Defintion Conditional Variance.For every given value
x
x
x ,let
V
a
r
(
Y
∣
x
)
Var(Y|x)
Var(Y∣x) denote the variance ofthe conditional distribution of
Y
Y
Y given
X
=
x
X=x
X=x .That is
V
a
r
(
Y
∣
x
)
=
E
{
[
Y
−
E
(
Y
∣
x
)
]
2
∣
x
}
Var(Y|x)=E\{[Y-E(Y|x)]^2|x\}
Var(Y∣x)=E{[Y−E(Y∣x)]2∣x}
这就是我们说当给定
X
=
x
X=x
X=x 时
Y
Y
Y 的条件期望是
V
a
r
(
Y
∣
x
)
Var(Y|x)
Var(Y∣x)
条件期望用来预测 Prediction
上面我们临床试验的例子描述了一种场景，并说如果在一个随机样本空间
n
n
n （足够大） 中有
X
X
X 个成功治愈的样例，那么我们怎么估计
P
P
P 这就是一个非常接近数理统计的例子，或者说这就是一个统计了题目。
Theorem The prediction
d
(
X
)
d(X)
d(X) that minimizes
E
{
[
Y
−
d
(
X
)
]
2
}
E\{[Y-d(X)]^2\}
E{[Y−d(X)]2} is
d
(
X
)
=
E
(
Y
∣
X
)
d(X)=E(Y|X)
d(X)=E(Y∣X)
证明过程略复杂，当时我们还是详细的写一下，毕竟后面统计要用到。在证明之前我们先仔细看看这个定理说的到底是个什么事，我们想要预测某个随机变量
X
X
X 的某个函数(
d
d
d )的结果，误差函数被定义为
[
Y
−
d
(
X
)
]
2
[Y-d(X)]^2
[Y−d(X)]2 其结果是
d
(
X
)
=
E
(
Y
∣
X
)
d(X)=E(Y|X)
d(X)=E(Y∣X) 误差函数或者损失函数是机器学习里的名词，这里指的就是类似于前面 M.S.E. 和M.A.E. 的一个指标，最小化时有最优结果。 证明： 我们证明X有一个连续分布，离散分布与连续情况基本一致。
令
d
(
X
)
=
E
(
Y
∣
X
)
d(X)=E(Y|X)
d(X)=E(Y∣X) ,
d
′
(
X
)
d'(X)
d′(X) 是一个任意的预测结果，我们只需要证明
E
{
[
Y
−
d
(
X
)
]
2
}
≤
E
{
[
Y
−
d
′
(
X
)
]
2
}
E\{[Y-d(X)]^2\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2\}
E{[Y−d(X)]2}≤E{[Y−d′(X)]2} 成立根据
E
{
E
[
r
(
X
,
Y
)
∣
X
]
}
=
E
[
r
(
X
,
Y
)
]
E\{E[r(X,Y)|X]\}=E[r(X,Y)]
E{E[r(X,Y)∣X]}=E[r(X,Y)] 有
Z
′
=
[
Y
−
d
′
(
X
)
]
2
Z'=[Y-d'(X)]^2
Z′=[Y−d′(X)]2 并且
h
′
(
x
)
=
E
(
Z
′
∣
x
)
h'(x)=E(Z'|x)
h′(x)=E(Z′∣x) 可以把1中的不等式转化成连续函数的期望的形式
∫
h
(
x
)
f
1
(
x
)
d
x
≤
∫
h
′
(
x
)
f
1
(
x
)
d
x
\int h(x)f_1(x)dx\leq \int h'(x)f_1(x)dx
∫h(x)f1(x)dx≤∫h′(x)f1(x)dx所以我们就把上面要证明的目标转换成了证明
h
(
x
)
≤
h
′
(
x
)
h(x)\leq h'(x)
h(x)≤h′(x)那么我们如果证明了
E
{
[
Y
−
d
(
X
)
]
2
∣
x
}
≤
E
{
[
Y
−
d
′
(
X
)
]
2
∣
x
}
E\{[Y-d(X)]^2|x\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2|x\}
E{[Y−d(X)]2∣x}≤E{[Y−d′(X)]2∣x} 就相当于证明了3假定4中的
x
x
x 为常数，根据MSE很容易证明结论
证毕
这个证明有点粗糙，但是大概框架给出了，大家需要查阅这两天的博客就能得出完成的证明过程了。
M.S.E. 还和
V
a
r
Var
Var 有关系：当我们预测在给定条件
X
=
x
X=x
X=x 的条件下预测
Y
Y
Y 为
E
(
Y
∣
x
)
E(Y|x)
E(Y∣x) 时其M.S.E就是
V
a
r
(
Y
∣
x
)
Var(Y|x)
Var(Y∣x) 如果在
X
X
X 未知的情况下最佳预测就是
E
[
Y
]
E[Y]
E[Y]
Theorem Law of Total Probability for Variance.If
X
X
X and
Y
Y
Y are arbitrary random variables for which the necessary expectations and variances exist,then
V
a
r
(
X
)
=
E
[
V
a
r
(
Y
∣
X
)
]
+
V
a
r
[
E
(
Y
∣
X
)
]
Var(X)=E[Var(Y|X)]+Var[E(Y|X)]
Var(X)=E[Var(Y∣X)]+Var[E(Y∣X)]
总结
本文我们介绍了条件版本的期望，然后扩展到了条件版本的方差，以及预测的相关知识。下一篇开始介绍各种各样的分布。 待续